$i=1, 2, 3$ और $j=1, 2, 3$ के लिए। यदि $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$,$a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$,$\forall i \neq j$ और $A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है,तो $\det(AA^T)=$

यदि $\Delta_{r}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$, तो $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r}=$

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{3} - 23A - 40I = 0$ है।

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ का मान क्या है?

मान लीजिए $a, b, c$ ऐसी अवास्तविक संख्याएँ हैं जो समीकरण $x^5 = 1$ को संतुष्ट करती हैं और $S$,$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ रूप के सभी अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है,जहाँ $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$ है। तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि बहुपद $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} (1+x)^{a} & (2+x)^{b} & 1 \\ 1 & (1+x)^{a} & (2+x)^{b} \\ (2+x)^{b} & 1 & (1+x)^{a} \end{array}\right|$ है, तो $f(x)$ का अचर पद ज्ञात कीजिए ($a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं)।