$a > 0$ માટે,જો વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ તેની મહત્તમ કિંમત $p$ આગળ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q$ આગળ પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યાં $p^2 = q$ હોય,તો $a =$

અંતરાલ $[0, \pi]$ માં વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x - \cos x)$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

વિધેય $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $ ને અંતરાલ $[1, 2.4]$ માં બે ક્રાંતિક બિંદુઓ છે. એક ક્રાંતિક બિંદુ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે અને બીજું સ્થાનિક મહત્તમ છે. સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x =$ પર મળે છે.

જો અંતરાલ $[-3, 0]$ માં વિધેય $f(x) = (x^2 - 2x + 7) e^{(4x^3 - 12x^2 - 180x + 31)}$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $f(\alpha)$ હોય,તો:

$2x$,$4x$ અને $5x$ બાજુઓ ધરાવતા લંબઘન અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બંધ અર્ધગોલકનો વિચાર કરો. જો તેમના પૃષ્ઠફળનો સરવાળો અચળ $k$ હોય,તો $x:r$ નો ગુણોત્તર શોધો જેના માટે તેમના ઘનફળનો સરવાળો મહત્તમ થાય.

બિંદુ $(0, 5)$ એ વક્ર ${x^2} = 2y$ થી સૌથી નજીક કયા બિંદુએ છે?