x 0 के लिए,यदि int (log x)^5 dx = x[A(log x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (\log x)^5 dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः $I = \int t^5 e^t dt$। खंडशः स

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$-44$

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(A) माना $I = \int (\log x)^5 dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः $I = \int t^5 e^t dt$। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t^n e^t dt = e^t [t^n - n t^{n-1} + n(n-1) t^{n-2} - \dots + (-1)^n n!]$। $n = 5$ के लिए,$I = e^t [t^5 - 5t^4 + 20t^3 - 60t^2 + 120t - 120] + C$। $t = \log x$ वापस रखने पर,$I = x [(\log x)^5 - 5(\log x)^4 + 20(\log x)^3 - 60(\log x)^2 + 120(\log x) - 120] + C$। दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,गुणांक $A = 1, B = -5, C = 20, D = -60, E = 120, F = -120$ प्राप्त होते हैं। अतः,$A + B + C + D + E + F = 1 - 5 + 20 - 60 + 120 - 120 = -44$।

$x > 0$ के लिए,यदि $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ है,तो $A + B + C + D + E + F$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx = \frac{1}{m}((\sqrt{1+x^2}+x)^n (n\sqrt{1+x^2}-x)) + C$,जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है और $m, n \in N$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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