यदि int frac{(sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(sqrt{1+x^ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx$. हर का परिमेयकरण करने पर: $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}

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$379$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx$. हर का परिमेयकरण करने पर: $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^9}{(\sqrt{1+x^2}+x)^9} dx = \int (\sqrt{1+x^2}+x)^{19} dx$. माना $t = \sqrt{1+x^2}+x$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1 = \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1+x^2}}$. अतः,$dx = \frac{\sqrt{1+x^2}}{t} dt$. चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$,हमारे पास $\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{t}$ है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\sqrt{1+x^2} = t + \frac{1}{t} \implies \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int t^{19} \cdot \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \int (t^{19} + t^{17}) dt$. $I = \frac{1}{2} (\frac{t^{20}}{20} + \frac{t^{18}}{18}) + C = \frac{t^{19}}{2} (\frac{t}{20} + \frac{1}{18t}) + C = \frac{t^{19}}{360} (9t + \frac{10}{t}) + C$. चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$ और $\frac{1}{t} = \sqrt{1+x^2}-x$,हमारे पास $9t + \frac{10}{t} = 9(\sqrt{1+x^2}+x) + 10(\sqrt{1+x^2}-x) = 19\sqrt{1+x^2} - x$ है। अतः,$I = \frac{1}{360} ((\sqrt{1+x^2}+x)^{19} (19\sqrt{1+x^2}-x)) + C$. दिए गए रूप से तुलना करने पर,$m = 360$ और $n = 19$. इसलिए,$m+n = 360 + 19 = 379$.

यदि $\int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx = \frac{1}{m}((\sqrt{1+x^2}+x)^n (n\sqrt{1+x^2}-x)) + C$,जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है और $m, n \in N$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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