$n \in N$ के लिए,यदि $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{2}{n-1} \sin(n-1)x + I_{n-2}$ और $\int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{k\pi}{2}$ है,तो $k =$

यदि $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ जहाँ $x > 0$ है,तो समीकरण $f(x) + f(1/x) = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x$ का/के मान है/हैं:

माना $h(x) = \int\limits_0^x {g(t)dt}$,जहाँ $g(x)$ एक अवकलनीय और विषम फलन है $\forall x \in R$ और $g(x)$ का आवर्तकाल $3$ है।
कथन $1: h(x) + h(-x) = 0$ $\forall x \in R$
कथन $2: h(x) + h(-x) = 2 \int\limits_0^x {g(t)dt}$ $\forall x \in R$
कथन $3: h(3n) = 0$ $\forall n \in I$
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है):

$\int_{\pi / 11}^{9 \pi / 22} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} = $

मान लीजिए $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,और $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ और $f(x)=\sin^2 x$,सभी $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ के लिए।
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ को परिभाषित करें।
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ का मान है।
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ का मान है।