समाकलन int_{-1/2}^{1/2} left( [x] + log left( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx + \int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx$. फलन $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ प

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx + \int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx$. फलन $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ पर विचार करें। चूंकि $f(-x) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = -\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) dx = 0$. अब,$I = \int_{-1/2}^{1/2} [x] dx$. अंतराल $[-1/2, 0)$ में,$[x] = -1$. अंतराल $[0, 1/2]$ में,$[x] = 0$. अतः,$I = \int_{-1/2}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1/2} (0) dx = -[x]_{-1/2}^{0} = -(0 - (-1/2)) = -1/2$.

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है):

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यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx = $

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cos x} d x = $

$\int_{-1}^1 \frac{\sin x-x^2}{3-|x|} d x=$

यदि $f$ एक सतत फलन है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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