I_n = int_{1}^{e} (ln x)^n dx,जहाँ n in N है, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$। तब $d

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$I_{n + 1} + (n + 1) I_n = e$

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(C) दिया गया है $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$। तब $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $I_n = [x(\ln x)^n]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$। $I_n = (e(\ln e)^n - 1(\ln 1)^n) - n \int_{1}^{e} (\ln x)^{n-1} dx$। चूंकि $\ln e = 1$ और $\ln 1 = 0$,इसलिए $I_n = e - n I_{n-1}$ प्राप्त होता है। $n$ को $n+1$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{n+1} = e - (n+1) I_n$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$I_{n+1} + (n+1) I_n = e$ प्राप्त होता है।

$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,जहाँ $n \in N$ है,के लिए निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

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$n \in N$ के लिए,$\int_{0}^{n\pi + V} \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} dx$ का मान . . . है (जहाँ $\frac{\pi}{2} < V < \pi$)

यदि ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x\,dx}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,n({I_n} + {I_{n - 2}})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^1 \frac{\log 2 - \log(1+x)}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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