I_n = int_{1}^{e} (ln x)^n dx,જ્યાં n in N મા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\ln x)^n$ અને $dv = dx$. તેથી $du = n

Vedclass · Accepted Answer

$I_{n + 1} + (n + 1) I_n = e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\ln x)^n$ અને $dv = dx$. તેથી $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે. $I_n = [x(\ln x)^n]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$. $I_n = (e(\ln e)^n - 1(\ln 1)^n) - n \int_{1}^{e} (\ln x)^{n-1} dx$. કારણ કે $\ln e = 1$ અને $\ln 1 = 0$,તેથી $I_n = e - n I_{n-1}$ મળે. $n$ ને બદલે $n+1$ મૂકતા,આપણને $I_{n+1} = e - (n+1) I_n$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા,$I_{n+1} + (n+1) I_n = e$ મળે છે.

$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

Similar Questions

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{7} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ છે. તો,શ્રેણી $(a_n)_{n \geq 1}$ શું સંતોષે છે?

$\int\limits_0^\pi {\frac{{x\cos x}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}}} dx$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module