કોઈ સંકર સંખ્યા z માટે, operatorname{Re}(z) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ છે।કારણ કે $|z|^2 = z\bar{z}$, તેથી $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$.આ કિંમત સમીકરણમા

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ છે।કારણ કે $|z|^2 = z\bar{z}$, તેથી $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$.આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$.આનો અર્થ એ થાય કે $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$.કિસ્સો $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$. જોકે, $z = 0$ એ $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ અથવા $\operatorname{Re}(z_2) કિસ્સો $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$.કારણ કે $z = x + iy$, તેથી $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ અને $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.આમ, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$.તેને $4i$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4ixy = 4i$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $xy = 1$ થાય છે.આપણે $|z_1 - z_2|^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવાની જરૂર છે જ્યાં $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $x_1 > 0$ તથા $z_2 = x_2 + iy_2$ અને $x_2 કારણ કે $xy = 1$, તેથી $y = 1/x$. આમ $z = x + i/x$.$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$.ધારો કે $x_1 = a > 0$ અને $x_2 = -b$ જ્યાં $b > 0$. તો $x_1x_2 = -ab$.$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$.$AM-GM$ અસમતા મુજબ, $(a + b)^2 \ge 4ab$. ઉપરાંત $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$.તેથી $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$.

Similar Questions

ધારો કે $z, w \in \mathbb{C}$ એ $z^2 + \bar{w} = z$ અને $w^2 + \bar{z} = w$ નું સમાધાન કરે છે,તો સંકર સંખ્યાઓની ક્રમિત જોડીઓ $(z, w)$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $z = 2 + 3i$ હોય,તો $z^{5} + (\bar{z})^{5}$ ની કિંમત શોધો.

જો બે સંકર સંખ્યાઓના માનાંક એક કરતા ઓછા હોય,તો આ સંકર સંખ્યાઓના સરવાળાનો માનાંક:

$\overline{z} = i z^2$ નું સમાધાન કરતી સંકર સંખ્યાઓ $z$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module