एक सम्मिश्र संख्या z के लिए, operatorname{Re} | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ है।चूंकि $|z|^2 = z\bar{z}$, इसलिए $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$ है।इसे स

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$8$

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(D) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ है।चूंकि $|z|^2 = z\bar{z}$, इसलिए $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$ है।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$ है।स्थिति $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$ है। हालाँकि, $z = 0$ शर्त $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ या $\operatorname{Re}(z_2) स्थिति $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$ है।चूंकि $z = x + iy$ है, इसलिए $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ और $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$ है।अतः, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$ है।इसे $4i$ के बराबर रखने पर, हमें $4ixy = 4i$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $xy = 1$ हो जाता है।हमें $|z_1 - z_2|^2$ को न्यूनतम करना है जहाँ $z_1 = x_1 + iy_1$ के साथ $x_1 > 0$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ के साथ $x_2 चूंकि $xy = 1$ है, इसलिए $y = 1/x$ है। अतः $z = x + i/x$ है।$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$ है।मान लीजिए $x_1 = a > 0$ और $x_2 = -b$ जहाँ $b > 0$ है। तो $x_1x_2 = -ab$ है।$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$ है।$AM-GM$ असमिका के अनुसार, $(a + b)^2 \ge 4ab$ है। साथ ही $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$ है।इसलिए $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$ है।

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