एक सम्मिश्र संख्या $Z = a + ib$ के लिए,मान लीजिए $\hat{Z} = b + ia$ है। यदि $Z_1$ और $Z_2$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो $\widehat{Z_1 Z_2} = $

सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए उन क्षेत्रों पर विचार करें जो $A: \frac{1}{\log_2 |z|} - \frac{1}{\log_2 |z| - 1} - 1 < 0$ और $B: \operatorname{Im}(z) = 0$ द्वारा परिभाषित हैं। क्षेत्र $A \cap B$ में स्थित $\operatorname{Re}(z)$ के मानों का परिसर ज्ञात कीजिए।

यदि $(x-iy)^{\frac{1}{3}} = a+ib$ है,तो $\frac{ax-by}{a-b} = $

यदि $\alpha$,$|1-i|^x=2^x$ के हलों की संख्या को दर्शाता है और $\beta=\left(\frac{|z|}{\arg (z)}\right)$,जहाँ $z=\frac{\pi}{4}(1+i)^4\left(\frac{1-\sqrt{\pi}i}{\sqrt{\pi}+i}+\frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi}i}\right)$,$i=\sqrt{-1}$,तो बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा $4x-3y=7$ से दूरी है

$z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$,तो $|z_1^3 + z_2^3|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta}$ शुद्ध काल्पनिक होगा,यदि $\theta = $ [जहाँ $n$ एक पूर्णांक है]