સમીકરણ z^4+z^2+1=0 ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,તેથી $z+\frac{1}{z} = \pm 1$. $z^3+\frac{1}{z^3}$ માટે,આપણે નિત્યસમ $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો $z+\frac{1}{z} = 1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$. પદાવલિ $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ બને છે. જો $z+\frac{1}{z} = -1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$. પદાવલિ $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ બને છે. સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના બીજ $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ છે. આ માટે,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$. તેથી,કિંમત $8$ છે.

સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ $z$ માટે,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $z$ અને $w$ બે એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|zw| = 1$ અને $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$ થાય,તો

$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હશે,જો $\theta = $ [જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે]

જો $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$),તો $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module