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Question

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए, हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है। द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + x^n$ ह

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$4^n-3n-1$

Vedclass · Answer

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए, हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है। द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + x^n$ होता है। $x=3$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $4^n = 1 + 3n + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot 3^2 + \dots + 3^n$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $4^n - 3n - 1 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 9 + \dots + 3^n$ प्राप्त होता है। चूंकि दाईं ओर के प्रत्येक पद में $9$ का एक गुणनखंड है, इसलिए $4^n - 3n - 1$ सभी पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए $9$ से विभाज्य है।

सभी पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा $9$ से विभाज्य है?

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