$\omega $ આવૃત્તિ પર ચાલતા $LCR$ સર્કિટ માટે,સમીકરણ $L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_i = V_m \sin \omega t$ છે.
$(a)$ સમીકરણને $i$ વડે ગુણો અને શક્ય હોય ત્યાં સાદું રૂપ આપો.
$(b)$ દરેક પદનું ભૌતિક અર્થઘટન કરો.
$(c)$ સમીકરણને ઉર્જા સંરક્ષણના વિધાનના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$(d)$ સમીકરણનું એક ચક્ર પર સંકલન કરીને દર્શાવો કે $V$ અને $i$ વચ્ચેનો કળા તફાવત લઘુકોણ હોવો જોઈએ.

(N/A) $LCR$ સર્કિટ માટે આપેલ સમીકરણ:
$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$(a)$ બંને બાજુ $i$ વડે ગુણતા:
$Li \frac{di}{dt} + i^2 R + \frac{q}{C} i = V_m i \sin \omega t$
$i = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) + i^2 R + \frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} \right) = Vi$
$(b)$ ભૌતિક અર્થઘટન:
$Li \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2)$ એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જામાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$i^2 R$ એ અવરોધમાં જૂલ ઉષ્મા (પાવર વ્યય) નો દર છે.
$\frac{q}{C} i = \frac{d}{dt} (\frac{q^2}{2C})$ એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઉર્જામાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$Vi$ એ ઉદગમ દ્વારા અપાતો તાત્ક્ષણિક પાવર છે.
$(c)$ સમીકરણ $\frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) + i^2 R = Vi$ એ ઉર્જા સંરક્ષણ દર્શાવે છે,જ્યાં ઉદગમ દ્વારા અપાતો પાવર એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતા પાવરના સરવાળા જેટલો છે.
$(d)$ એક ચક્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પર સંકલન કરતા:
$\int_0^T \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) dt + \int_0^T i^2 R dt = \int_0^T Vi dt$
$L$ અને $C$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા આવર્તિય હોવાથી,એક ચક્ર પર વિકલનનું સંકલન શૂન્ય થાય છે.
$0 + I_{rms}^2 R T = \int_0^T Vi dt$
$I_{rms}^2 R T > 0$ હોવાથી,સરેરાશ પાવર $\int_0^T Vi dt$ ધન હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $\cos \phi > 0$,એટલે કે કળા તફાવત $\phi$ લઘુકોણ હોવો જોઈએ.