કોઈપણ y in R માટે,ધારો કે cot ^{-1}(y) in(0, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $	an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}ight)=\frac{2 \pi}{3}$.
ધારો કે $x = \frac{6y}{9-y^2}$.

Vedclass · Accepted Answer

$4 \sqrt{3}-6$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $ an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2} ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y} ight)=\frac{2 \pi}{3}$. ધારો કે $x = \frac{6y}{9-y^2}$. તો સમીકરણ $ an^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ બને છે. કિસ્સો $I$: જો $x > 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = an^{-1}(x)$. સમીકરણ $2 an^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$ બને છે. $\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$. કારણ કે $x > 0$,આપણે $y \in (0, 3)$ જોઈએ છે,તેથી $y = \sqrt{3}$. કિસ્સો $II$: જો $x < 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = an^{-1}(x) + \pi$. સમીકરણ $2 an^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2 an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ બને છે. $\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$. કારણ કે $x < 0$,આપણે $y \in (-3, 0)$ જોઈએ છે,તેથી $y = 3\sqrt{3} - 6$. ઉકેલોનો સરવાળો: $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.

Similar Questions

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ ની કિંમત શોધો.

$x$ ની કિંમત શોધો, જ્યાં $x>0$ અને $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ છે.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{{({{\cos }^{ - 1}}x)}^2}}} = $

ધારો કે $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,તો $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

સમીકરણ $\sin \left[2 \cos^{-1} \left\{\cot \left(2 \tan^{-1} x\right)\right\}\right] = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module