किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$|M|$ को $M$ का सारणिक मानें। $I$ को $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह मानें। $E$ और $F$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $(I-EF)$ व्युत्क्रमणीय है। यदि $G=(I-EF)^{-1}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$

यदि फलन $f : \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$,जो $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$ द्वारा परिभाषित है,का न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः $m$ और $M$ है,तो क्रमित युग्म $(m, M)$ किसके बराबर है?

यदि $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ और $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(जहाँ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ का मान क्या है?

मान लीजिए $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ एक शून्येतर $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$ है। एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ आव्यूह $M$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तब,कथनों में से:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ यदि trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ तो } R \text{ में केवल एक शून्येतर अवयव है।}$

यदि $a_1, a_2, \ldots, a_9$ एक $G.P.$ में हैं,तो $\left|\begin{array}{lll}\log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

आव्यूह $A$,$A^2 = 2A - I$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। तो $n \ge 2$ के लिए,$A^n$ का मान क्या होगा? $(n \in N)$