यदि $a_1, a_2, \ldots, a_9$ एक $G.P.$ में हैं,तो $\left|\begin{array}{lll}\log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A)$ को $A$ की विकर्ण प्रविष्टियों का योग कहें। मान लीजिए $A^2 = I$ है।
कथन-$1$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ है।
कथन-$2$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $tr(A) \neq 0$ है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए -

यदि $A$ कोटि $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है और $X$ उसी कोटि का एक अन्य आव्यूह है,तो $|XA + AX^T|$ का मान क्या होगा? (जहाँ $|P|$ आव्यूह $P$ के सारणिक को दर्शाता है)।

मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $Y$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है जो $XY = YX$ शर्त को संतुष्ट करता है। तो $\det(Y)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

समीकरण $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?