प्रत्येक n in N के लिए, 2^{3n}-1 किससे विभाज् | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है। चूँकि $8^n = (1+7)^n$, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार कर सकते हैं: $(1+7)^n = 1 + {}^{n}

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$7$

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(A) हम जानते हैं कि $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है। चूँकि $8^n = (1+7)^n$, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार कर सकते हैं: $(1+7)^n = 1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)$। अतः, $2^{3n} - 1 = (1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)) - 1$। $2^{3n} - 1 = 7({}^{n}C_1 + {}^{n}C_2(7) + \dots + {}^{n}C_n(7^{n-1}))$। यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है।

प्रत्येक $n \in N$ के लिए, $2^{3n}-1$ किससे विभाज्य है, जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है?

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