દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,${2^n} < n!$ ક્યારે થાય?

કઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે,અસમતા $2^n > n+1$ સાચી છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે,$x^{2n}-y^{2n}$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$

જો $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$,$n \in N$,હોય,તો $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ એ તમામ $k \in N$ માટે છે. તો આપણે એવું તારણ કાઢી શકીએ કે $P(n) = n(n + 1) + 2$ એ કોના માટે છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું પ્રમાણ આપો:
$1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$