$n$ के प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,${3^n} > {n^3}$ कब होता है?

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी असमिका सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$।
तो,$a_n$ का मान क्या है?

मान लीजिए $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,सभी $n \in N$ के लिए। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$x^{2n}-y^{2n}$,$x+y$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ सभी $n \in N$ के लिए।