वास्तविक संख्याओं alpha, beta, gamma और delta | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करन

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर.$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.माना $t = 	an^{-1}(x+1/x)$,तब $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,जहाँ $y=x-1/x$ और $z=x+1/x$.$I = \log_e |	an^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} 	an^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1/x) + C$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.अतः $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

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यदि $\int f(x) \cos x \, dx = \frac{1}{2} [f(x)]^2 + C$ और $f(0) = 0$ है, तो $f'(0) = $

$\int \frac{dx}{2+\cos x} = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

यदि $\int \sqrt{\frac{x-7}{x-9}} ~dx = A \sqrt{x^2-16x+63} + \log \left|(x-8)+\sqrt{x^2-16x+63}\right| + c,$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है) तो $A$ का मान है

यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x^2+x+2}} \, dx =$

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