$x$ ની વાસ્તવિક કિંમતો માટે,$\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$ નો વિસ્તાર શોધો.

$k$ $(k \neq 0)$ ના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેના માટે સમીકરણ $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$ ને $x$ માં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

સમીકરણ $x^5+15x^4+94x^3+305x^2+507x+353=0$ ના તમામ બીજોને કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k$ દ્વારા વધારવામાં આવે છે જેથી સમીકરણમાંથી $4$ ઘાત વાળું પદ દૂર કરી શકાય. હવે,રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $x$ નો સહગુણક કેટલો હશે?

$E_1: a+b+c=0$,જો $1$ એ $ax^2+bx+c=0$ નું બીજ હોય. $E_2: b^2-a^2=2ac$,જો $\sin \theta, \cos \theta$ એ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય. નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2 - x + p = 0$ ના બીજ છે અને $\gamma, \delta$ એ સમીકરણ $x^2 - 4x + q = 0$ ના બીજ છે, જ્યાં $p, q \in Z$. જો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં હોય, તો $|p + q|$ ની કિંમત શોધો:

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3)$ અને $\alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3$ હોય (જ્યાં $S = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$ અને $P = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$).