कुछ alpha, beta in R के लिए, मान लीजिए A = be | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A^{2} - 4A + 2I = O$। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{2} - 	ext{Tr}(A)\lambda + 	ext{det}(A) = 0$ है। त

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$225$

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(B) दिया गया है $A^{2} - 4A + 2I = O$। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{2} - 	ext{Tr}(A)\lambda + 	ext{det}(A) = 0$ है। तुलना करने पर, $	ext{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$।इसी प्रकार, $B^{2} - 3B + I = O$ के लिए, $	ext{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$।अब, $A^{2} = 4A - 2I$। तब $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$।$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \ 14 & 20 \end{bmatrix}$।$B$ के लिए, $B^{2} = 3B - I$। तब $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$।$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix}$।$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \ 6 & 7 \end{bmatrix}$।$	ext{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 	imes 7) - (20 	imes 6) = 105 - 120 = -15$।$2 	imes 2$ आव्यूह के लिए $	ext{det}(	ext{adj}(M)) = 	ext{det}(M)$ होता है, इसलिए $	ext{det}(	ext{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$।अतः, $(	ext{det}(	ext{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right\|=\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right\|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

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