यदि $S = \{x \in [0, 2\pi] : \begin{vmatrix} 0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0 \end{vmatrix} = 0\}$ है,तो $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ कोटि $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है और $X$ उसी कोटि का एक अन्य आव्यूह है,तो $|XA + AX^T|$ का मान क्या होगा? (जहाँ $|P|$ आव्यूह $P$ के सारणिक को दर्शाता है)।

यदि $a, b, c$ शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ को संतुष्ट करती हैं और $\left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right| = k a^2 b^2 c^2$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ के मूल हैं, जहाँ $I_{3}$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$ है, तो $-\pi \leq t < \pi$ के लिए $t$ के संभावित मानों का समुच्चय क्या है?

मान लीजिए $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं जहाँ $P \neq Q$ है। यदि $P^3 = Q^3$ और $P^2Q = Q^2P$ है,तो सारणिक $\det(P^2 + Q^2)$ का मान क्या होगा?

$\triangle ABC$ में,यदि $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|=0$ है,तो $\cos A \cos B+\cos B \cos C+\cos C \cos A=$