यदि $A$ और $B$ दो आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = B$ और $BA = A,$ तो ${A^2} + {B^2} = $

मान लीजिए कि $M$ क्रम $3 \times 3$ के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और $S=\{-3,-2,-1,1,2\}$ है। मान लीजिए $S_1=\{A=[a_{ij}] \in M: A=A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,$S_2=\{A=[a_{ij}] \in M: A=-A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,और $S_3=\{A=[a_{ij}] \in M: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$ है। यदि $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3)=125 \alpha$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ दोनों $3 \times 3$ आव्यूह हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(i)$ $AB=0 \Rightarrow A=0$ या $B=0$
(ii) $AB=I_3 \Rightarrow A^{-1}=B$
(iii) $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

मान लीजिए $\omega$ एक सम्मिश्र संख्या $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ है। तो $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ को संतुष्ट करने वाली भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या कितनी है?

समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ के अवयवों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $3 \times 2$ आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए, ताकि $A^{T}A$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $5$ हो।

मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ
$a_{ij} = 1$,यदि $i = j$
$a_{ij} = -x$,यदि $|i - j| = 1$
$a_{ij} = 2x + 1$,अन्यथा
मान लीजिए एक फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \det(A)$ के रूप में परिभाषित है। तो $R$ पर $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग किसके बराबर है?