मान लीजिए omega एक सम्मिश्र संख्या cos frac{2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\omega = e^{i 2 \pi / 3}$,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left|\begin{ar

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$1$

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(A) दिया गया है $\omega = e^{i 2 \pi / 3}$,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \ \omega & z+\omega^2 & 1 \ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}ight|$ है।संक्रिया $C_1 	o C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \ z+\omega+\omega^2+1 & z+\omega^2 & 1 \ z+\omega^2+1+\omega & 1 & z+\omega \end{array}ight| = \left|\begin{array}{ccc} z & \omega & \omega^2 \ z & z+\omega^2 & 1 \ z & 1 & z+\omega \end{array}ight|$.प्रथम स्तंभ से $z$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \ 1 & z+\omega^2 & 1 \ 1 & 1 & z+\omega \end{array}ight|$.$R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ लागू करने पर:$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \ 0 & z+\omega^2-\omega & 1-\omega^2 \ 0 & 1-\omega & z+\omega-\omega^2 \end{array}ight| = z[(z+\omega^2-\omega)(z+\omega-\omega^2) - (1-\omega^2)(1-\omega)]$.इसका विस्तार करने पर,हमें $\Delta = z(z^2) = z^3 = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$z = 0$ ही एकमात्र हल है। भिन्न सम्मिश्र संख्याओं की संख्या $1$ है।

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