फलन $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $f^{\prime}(1) = 100 f^{\prime}(0)$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \right)$.
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x}{2} + 1 + 0$.
$f^{\prime}(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1$.
$x = 1$ पर,$f^{\prime}(1) = 1^{99} + 1^{98} + \dots + 1 + 1$.
चूंकि योग में $100$ पद हैं,इसलिए $f^{\prime}(1) = 1 \times 100 = 100$.
अतः,$f^{\prime}(1) = 100 \times 1 = 100 f^{\prime}(0)$.
इस प्रकार,$f^{\prime}(1) = 100 f^{\prime}(0)$ सिद्ध होता है।