फलन f(x) = e^x के लिए अंतराल [a, b] पर जहाँ a | vedclass

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Question

(B) लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ हो।यहाँ $f(x) = e^x$,$a =

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$\log(e - 1)$

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(B) लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ हो।यहाँ $f(x) = e^x$,$a = 0$,और $b = 1$ दिया गया है।सबसे पहले,$f(a) = e^0 = 1$ और $f(b) = e^1 = e$ ज्ञात करते हैं।अवकलन करने पर $f'(x) = e^x$ प्राप्त होता है,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।इन मानों को सूत्र में रखने पर:$\frac{e - 1}{1 - 0} = e^c$$e - 1 = e^c$दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$\log(e - 1) = c$।अतः,$c$ का मान $\log(e - 1)$ है।

फलन $f(x) = e^x$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर जहाँ $a = 0$ और $b = 1$ है,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $c$ का मान क्या होगा?

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यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}$ और $3a + 5b + 15c = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो समीकरण $ax^4 + bx^2 + c = 0$ के पास:

किस अंतराल के लिए फलन $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$ रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं और $a, b \in I, a < b$ है। तो,

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