अतिपरवलय frac{x^{2}}{cos^{2} alpha} - frac{y^ | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ है। इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y

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नाभियाँ (Foci)

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(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ है। इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के साथ तुलना करने पर, $a^{2} = \cos^{2} \alpha$ और $b^{2} = \sin^{2} \alpha$ प्राप्त होता है। नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ द्वारा दिए जाते हैं, जहाँ $ae = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ है। मान रखने पर, $ae = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1} = 1$ प्राप्त होता है। अतः, नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं, जो $\alpha$ से स्वतंत्र हैं। इसलिए, $\alpha$ के बदलने पर भी नाभियाँ स्थिर रहती हैं।

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ के लिए, जब $\alpha$ बदलता है तो निम्नलिखित में से क्या स्थिर रहता है?

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उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(6, 4)$ और $(-4, 4)$ हैं और उत्केंद्रता $e = 2$ है।

$3x - 4y + 7 = 0$ और $4x + 3y + 1 = 0$ अनंतस्पर्शी वाले और मूल बिंदु से गुजरने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

शांकवों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियाँ हैं और उत्केंद्रता $2$ है।

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