शांकवों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{20} - \frac{3y^2}{4} = 1$ की उन स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 3y = 7$ के समांतर हैं।

यदि $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $4 \text{ cm}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ की नाभियों से होकर गुजरता है और अतिपरवलय के साथ संकेंद्रित है,तो उस अतिपरवलय के संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

अतिपरवलय $9 y^{2}-4 x^{2}=36$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

माना एक रेखा $L_{1}$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की स्पर्श रेखा है और $L_{2}$ मूल बिंदु से गुजरने वाली और $L_{1}$ के लंबवत रेखा है। यदि $L_{1}$ और $L_{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $(x^{2}+y^{2})^{2} = \alpha x^{2}+\beta y^{2}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।