माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुस | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$।तब $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।मान रखने पर,$-\frac{

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$\sqrt{ab}$

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(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$।तब $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।मान रखने पर,$-\frac{1}{x_1^2} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$।दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \frac{-(b - a)}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}$।अतः,$-\frac{1}{x_1^2} = -\frac{1}{ab}$,जिसका अर्थ है $x_1^2 = ab$।चूंकि $a < x_1 < b$,इसलिए $x_1 = \sqrt{ab}$।

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ है। यदि $f(x) = \frac{1}{x}$ है,तो $x_1 = $

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$f:[2,10] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$,$x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$ है।
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

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