मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ अंतराल $(a, b)$ पर एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(a) = f(b) = 0$ और $a < b$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ म

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$2$

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(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ अंतराल $(a, b)$ पर एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(a) = f(b) = 0$ और $a रोले के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो। हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(a)$ और $f^{\prime}(b)$ का चिह्न समान है। यदि $f^{\prime}(a) > 0$ और $f^{\prime}(b) > 0$ है,तो चूँकि $f(a) = f(b) = 0$ है,फलन को $a$ से बढ़ना होगा और अंततः $b$ तक पहुँचने के लिए घटना होगा। इसका मतलब है कि $(a, b)$ में कम से कम एक स्थानीय अधिकतम बिंदु होना चाहिए जहाँ $f^{\prime}(x) = 0$ हो। हालाँकि,चूँकि $f^{\prime}(b) > 0$ है,फलन को सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए फिर से मुड़ना होगा,जिसके लिए $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम एक और मूल की आवश्यकता होगी। अतः,अंतराल $(a, b)$ में $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम $2$ मूल होने चाहिए।

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