फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ और $f'(x)g(x) = \cos^2 x$ है। तो अंतराल $(0, 3\pi)$ में समीकरण $f(x) + g(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?

फलन $f(x) = |x|$,$x = 0$ पर है

माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन $f''(x)$ बाकी हर जगह ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | अपरिभाषित | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ का संभावित ग्राफ है:

फलन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है और $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(B)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है और $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(C)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$(D)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$3.$ मान लीजिए $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर धनात्मक और $(0, \infty)$ पर ऋणात्मक है
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ दोनों पर अपना चिह्न बदलता है
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर अपना चिह्न नहीं बदलता है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

समीकरण $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है: