વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ અને $f'(x)g(x) = \cos^2 x$. તો અંતરાલ $(0, 3\pi)$ માં સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,જ્યાં $x \in R$. ધારો કે $S = \{\lambda \in R : \text{એવું બિંદુ } c \in (0, 2\pi) \text{ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી } f'(c) = \lambda f(c)\}$. તો,

ધારો કે $f:R \to R$ એ $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય છે.
વિધાન-$1$: કોઈક $c \in R$ માટે $f(c) = \frac{1}{3}$ છે.
વિધાન-$2$: તમામ $x \in R$ માટે $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.

$f(x) = \begin{cases} |x - 3|, & x \ge 1 \\ \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય શું છે?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} e^{x-1}; x < 0 \\ x^2-5x+6; x \ge 0 \end{cases}$ અને $g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ છે. જો $g$ અસતત હોય અને વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ હોય, તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત ———— છે.

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે,જેથી $g^{\prime \prime}(x)$ સતત છે,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,અને $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{વિધાન}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{વિધાન}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.