ધારો કે $f(x) = \begin{cases} e^{x-1}; x < 0 \\ x^2-5x+6; x \ge 0 \end{cases}$ અને $g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ છે. જો $g$ અસતત હોય અને વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ હોય, તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત ———— છે.

ધારો કે $f(x)$ એ $x$ માં $6$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,જેમાં $x^{6}$ નો સહગુણક $1$ છે અને તેને $x=-1$ અને $x=1$ આગળ અંતિમબિંદુઓ (extrema) છે. જો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ હોય,તો $5 \cdot f(2)$ ની કિંમત ............. થાય.

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

જો $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $x=1$ આગળ,$f(x)$ એ

ધારો કે $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ અને $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. જો $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ હોય,તો $f(\beta)$ ની કિંમત શોધો.

$f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય છે અને $f^{\prime}(2)=6$ અને $f^{\prime}(1)=4$ આપેલ છે, તો $L=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(2+2 h+h^2\right)-f(2)}{f\left(1+h-h^2\right)-f(1)}$ શોધો.