यदि a, b, c एक H.P. के p^{th}, q^{th}, r^{th} | vedclass

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Question

(B) चूंकि $a, b, c$ एक $H.P.$ के $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।मान ल

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$\vec{u}, \vec{v}$ लंबकोणीय (orthogonal) सदिश हैं

Vedclass · Answer

(B) चूंकि $a, b, c$ एक $H.P.$ के $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।मान लीजिए कि इस $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।अतः,$\frac{1}{a} = A + (p-1)D, \frac{1}{b} = A + (q-1)D, \frac{1}{c} = A + (r-1)D$.इनको घटाने पर,हमें $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = (p-q)D$,$\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = (q-r)D$,और $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = (r-p)D$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$(q-r) = \frac{1/b - 1/c}{D} = \frac{c-b}{bcD}$,$(r-p) = \frac{a-c}{acD}$,और $(p-q) = \frac{b-a}{abD}$।अब,अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (q-r)\frac{1}{a} + (r-p)\frac{1}{b} + (p-q)\frac{1}{c}$ की गणना करें।मान रखने पर: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{c-b}{bcD} \cdot \frac{1}{a} + \frac{a-c}{acD} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b-a}{abD} \cdot \frac{1}{c}$।$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{abcD} (c-b + a-c + b-a) = \frac{1}{abcD} (0) = 0$।चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबकोणीय हैं।

यदि $a, b, c$ एक $H.P.$ के $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ पद हैं और $\vec{u} = (q-r)\hat{i} + (r-p)\hat{j} + (p-q)\hat{k}$ तथा $\vec{v} = \frac{\hat{i}}{a} + \frac{\hat{j}}{b} + \frac{\hat{k}}{c}$ है,तो:

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