यदि f(x) = sin^{-1}left(frac{2 cdot 3^x}{1 + | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1 + (3^x)^2}ight)$.मान लीजिए $3^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(3^x)$.$f(x) = \sin

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$\sqrt{3} \ln(\sqrt{3})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1 + (3^x)^2}ight)$.मान लीजिए $3^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(3^x)$.$f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}ight) = \sin^{-1}(\sin 2	heta) = 2	heta = 2 	an^{-1}(3^x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (3^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = \frac{2}{1 + 9^x} \cdot 3^x \ln 3$.अब,$x = -\frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर:$f'(-\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 3^{-1/2}}{1 + 9^{-1/2}} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{1 + 1/3} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{4/3} \ln 3 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} \ln 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \ln 3$.चूंकि $\ln 3 = 2 \ln \sqrt{3}$,इसलिए $f'(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \ln \sqrt{3} = \sqrt{3} \ln \sqrt{3}$.

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1 + 9^x}\right)$ है,तो $f'(-\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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