यदि y(x) = cot^{-1}left(frac{sqrt{1+sin x} + | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}\right)$.चूँकि $1 \pm \sin x = \left

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$-\frac{1}{2}$

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(A) दिया गया है $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}ight)$.चूँकि $1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}ight)^2$,इसलिए $\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ है।$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \piight)$ के लिए,$\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}ight)$ है। इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} > 0$,$\sin \frac{x}{2} > 0$,और $\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ है।अतः,$\sqrt{1+\sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ होगा।इन मानों को $y(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}ight) = \cot^{-1}\left(\frac{2\sin \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}ight) = \cot^{-1}(	an \frac{x}{2})$.$\cot^{-1}(	an 	heta) = \frac{\pi}{2} - 	heta$ का उपयोग करने पर,$y(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$।

यदि $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}\right)$,जहाँ $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,तो $x = \frac{5\pi}{6}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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