यदि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0

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$-\frac{\pi}{2}$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} [\cos(\pi - x)] \, dx = \int_{0}^{\pi} [-\cos x] \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi} ([\cos x] + [-\cos x]) \, dx$चूँकि $[x] + [-x] = -1$ यदि $x 
otin \mathbb{Z}$ और $0$ यदि $x \in \mathbb{Z}$,और $[0, \pi]$ अंतराल में $\cos x \in \mathbb{Z}$ वाले बिंदुओं का समुच्चय सीमित है (माप शून्य है),इसलिए:$2I = \int_{0}^{\pi} (-1) \, dx$$2I = -[x]_{0}^{\pi} = -\pi$$I = -\frac{\pi}{2}$

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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