यदि I=int_{1}^{2} frac{dx}{sqrt{2x^{3}-9x^{2} | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^{3}-9x^{2}+12x+4}}$.$I$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[1, 2]$ पर $g(x) = 2x^{3}-9x^{2}+12x+4$ के व्यवहार की

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$\frac{1}{9} < I^{2} < \frac{1}{8}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^{3}-9x^{2}+12x+4}}$.$I$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[1, 2]$ पर $g(x) = 2x^{3}-9x^{2}+12x+4$ के व्यवहार की जाँच करते हैं।$g'(x) = 6x^{2}-18x+12 = 6(x-1)(x-2)$.चूँकि $x \in [1, 2]$ के लिए $g'(x) \leq 0$ है,इसलिए $g(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक ह्रासमान फलन है।अतः,$g(2) \leq g(x) \leq g(1)$.$g(1) = 2-9+12+4 = 9$.$g(2) = 16-36+24+4 = 8$.इसलिए,$x \in [1, 2]$ के लिए $8 \leq g(x) \leq 9$ है।वर्गमूल और व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{1}{\sqrt{8}}$.$1$ से $2$ तक समाकलन करने पर: $\int_{1}^{2} \frac{1}{3} dx $\frac{1}{3}(2-1) $\frac{1}{3} असमिका का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} < I^{2} < \frac{1}{8}$.

यदि $I=\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x^{3}-9x^{2}+12x+4}},$ है,तो

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समाकलन $\int_{1}^{3} [x^{2}-2x-2] dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है:

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