यदि c एक ऐसा बिंदु है जिस पर अंतराल [3, 4] मे | vedclass

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Question

(B) रोले के प्रमेय के लिए,$f(3) = f(4)$ होना चाहिए।$\log_{e}\left(\frac{3^{2}+\alpha}{7(3)}\right) = \log_{e}\left(\frac{4^{2}+\alpha}{7(4)}\right)$$\

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$\frac{1}{12}$

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(B) रोले के प्रमेय के लिए,$f(3) = f(4)$ होना चाहिए।$\log_{e}\left(\frac{3^{2}+\alpha}{7(3)}\right) = \log_{e}\left(\frac{4^{2}+\alpha}{7(4)}\right)$$\frac{9+\alpha}{21} = \frac{16+\alpha}{28} \Rightarrow 4(9+\alpha) = 3(16+\alpha) \Rightarrow 36+4\alpha = 48+3\alpha \Rightarrow \alpha = 12$.अब,$f(x) = \log_{e}(x^{2}+12) - \log_{e}(7) - \log_{e}(x)$.$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+12} - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}-12}{x(x^{2}+12)}$.रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(c) = 0 \Rightarrow c^{2}-12 = 0 \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}-12}{x^{3}+12x} \right)$.$c^{2}=12$ रखने पर,$f''(c) = \frac{2}{c^{2}+12} = \frac{2}{12+12} = \frac{1}{12}$.

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