જો $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ માટે $x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \tan^{2n} \theta$ અને $y = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta$ હોય,તો:

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \dots$ એ એક સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે અને $g_1, g_2, g_3, \dots$ એ એક વધતી જતી સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) છે. જો $a_1 = g_1$ અને $a_2 + g_2 = 1$ અને $a_3 + g_3 = 4$ હોય, તો $a_{10} + g_5$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $3, 6, 9, 12, \ldots$ $78$ પદો સુધી અને $5, 9, 13, 17, \ldots$ $59$ પદો સુધી બે શ્રેણીઓ છે. તો,બંને શ્રેણીઓમાં સામાન્ય પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ત્રણ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં છે. જો $3^{rd}$ પદમાંથી $64$ ઘટાડવામાં આવે,તો મળતી ત્રણ સંખ્યાઓ $A.P.$ બનાવે છે. જો આ $A.P.$ ના બીજા પદમાંથી $8$ ઘટાડવામાં આવે,તો ફરીથી $G.P.$ બને છે. તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. જો $x_1, x_2, x_3, x_4$ માંથી અનુક્રમે $2, 7, 9, 5$ બાદ કરવામાં આવે,તો મળતી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય છે. તો $\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4)$ ની કિંમત શોધો:

જો $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે,તો $\left[\left(1+\frac{1}{100000}\right)^{100000}\right]=$