यदि frac{dy}{dx} = frac{xy}{x^2 + y^2} और y(1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में म

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$\sqrt{3} e$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + v^2 x^2} = \frac{v}{1 + v^2}$।$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$।$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|\frac{y}{x}| = -\ln|x| + C$।$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$।समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$ है।$y = e$ के लिए: $-\frac{x^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2} \implies -\frac{x^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$।$-\frac{x^2}{2e^2} = -\frac{3}{2} \implies x^2 = 3e^2 \implies x = \sqrt{3}e$।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ और $y(1) = 1$ है,तो $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जो $y(x) = e$ को संतुष्ट करता है।

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