જો $A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ હોય,તો ચકાસો કે $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$.
(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2(1)+3(-1) & 2(-2)+3(3) \\ 1(1)+(-4)(-1) & 1(-2)+(-4)(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,આપણે નિશ્ચાયક $|AB| = (-1)(-14) - (5)(5) = 14 - 25 = -11$ શોધીએ.
કારણ કે $|AB| \neq 0$,તેથી $(AB)^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-14 & -5 \\ -5 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
હવે,આપણે $A^{-1}$ અને $B^{-1}$ શોધીએ:
$|A| = 2(-4) - 3(1) = -8 - 3 = -11$.
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-4 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
$|B| = 1(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1$.
$B^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
છેલ્લે,$B^{-1} A^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$B^{-1} A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left( \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right] \right) = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}3(4)+2(1) & 3(3)+2(-2) \\ 1(4)+1(1) & 1(3)+1(-2)\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ સાબિત થાય છે.
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2(1)+3(-1) & 2(-2)+3(3) \\ 1(1)+(-4)(-1) & 1(-2)+(-4)(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,આપણે નિશ્ચાયક $|AB| = (-1)(-14) - (5)(5) = 14 - 25 = -11$ શોધીએ.
કારણ કે $|AB| \neq 0$,તેથી $(AB)^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-14 & -5 \\ -5 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
હવે,આપણે $A^{-1}$ અને $B^{-1}$ શોધીએ:
$|A| = 2(-4) - 3(1) = -8 - 3 = -11$.
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-4 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
$|B| = 1(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1$.
$B^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
છેલ્લે,$B^{-1} A^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$B^{-1} A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left( \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right] \right) = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}3(4)+2(1) & 3(3)+2(-2) \\ 1(4)+1(1) & 1(3)+1(-2)\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ સાબિત થાય છે.
Explore More
Similar Questions
જો $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ હોય,તો $(2A^2 + 5A)$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો.
ધારો કે $k$ એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $A = \begin{bmatrix} 2k-1 & 2\sqrt{k} & 2\sqrt{k} \\ 2\sqrt{k} & 1 & -2k \\ -2\sqrt{k} & 2k & -1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 2k-1 & \sqrt{k} \\ 1-2k & 0 & 2\sqrt{k} \\ -\sqrt{k} & -2\sqrt{k} & 0 \end{bmatrix}$ છે. જો $\det(\operatorname{adj} A) + \det(\operatorname{adj} B) = 10^6$ હોય,તો $[k]$ ની કિંમત શોધો [નોંધ: $\operatorname{adj} M$ એ ચોરસ શ્રેણિક $M$ નો એડજોઈન્ટ દર્શાવે છે અને $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે].
જો $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય કે જેથી $|5 \cdot \text{adj } A| = 5$ થાય,તો $|A|$ ની કિંમત શોધો.
DifficultJEE MAIN 2015
View Solutionજો $A = \begin{bmatrix} k & 5 & 2 \\ 2 & -k & 5 \\ 5 & 2 & -k \end{bmatrix}$ અને $\det A = 190$ હોય, તો $\operatorname{Adj} A = $
જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{K} \text{adj}(A)$ હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.
Easy
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo