यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो दर्शाइए कि $AB$ सममित है यदि और केवल यदि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,अर्थात $AB = BA$.

(N/A) चूंकि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
भाग $1$: मान लीजिए कि $AB$ सममित है।
तब $(AB)^{\prime} = AB$ होगा।
परिवर्तित आव्यूह के गुण $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ का उपयोग करने पर,हमें $B^{\prime}A^{\prime} = AB$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है,यह दर्शाता है कि $BA = AB$ है।
भाग $2$: विलोमतः,मान लीजिए कि $AB = BA$ है।
हमें यह दिखाना है कि $AB$ सममित है,अर्थात $(AB)^{\prime} = AB$ है।
$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ होता है।
चूंकि $A$ और $B$ सममित हैं,इसलिए $B^{\prime}A^{\prime} = BA$ होगा।
दिया गया है कि $BA = AB$,इसलिए $(AB)^{\prime} = AB$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB$ एक सममित आव्यूह है।