यदि frac{1}{1^4} + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4 | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.हम योग को विषम और सम पदों में विभाजित कर सकते हैं: $S = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\inf

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$\frac{\pi^4}{96}$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.हम योग को विषम और सम पदों में विभाजित कर सकते हैं: $S = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4} + \sum_{n=2,4,6,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.माना $S_{odd} = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.सम पदों को $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^4} = \frac{1}{2^4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{1}{16} S$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$S = S_{odd} + \frac{1}{16} S$.$S_{odd} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.$S = \frac{\pi^4}{90}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{odd} = \frac{15}{16} 	imes \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{16 	imes 6} = \frac{\pi^4}{96}$.

यदि $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ है,तो $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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