यदि sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^i sum_{k = 1}^j | vedclass

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Question

(B) दी गई व्यंजक: $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i \sum_{k = 1}^j 1 = 560$.सबसे पहले,आंतरिक योग की गणना करने पर: $\sum_{k = 1}^j 1 = j$.अब,व्यंजक इस प्र

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$14$

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(B) दी गई व्यंजक: $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i \sum_{k = 1}^j 1 = 560$.सबसे पहले,आंतरिक योग की गणना करने पर: $\sum_{k = 1}^j 1 = j$.अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i j = 560$.इसके बाद,मध्य योग की गणना करने पर: $\sum_{j = 1}^i j = \frac{i(i + 1)}{2}$.अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{i = 1}^n \frac{i(i + 1)}{2} = 560$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{2} [\sum_{i = 1}^n i^2 + \sum_{i = 1}^n i] = 560$.योग के सूत्रों $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$\frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}] = 560$.$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} [\frac{2n+1}{3} + 1] = 560$.$\frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+4}{3}] = 560$.$\frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = 560$.$\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 560$.$n(n+1)(n+2) = 560 	imes 6 = 3360$.चूंकि $14 	imes 15 	imes 16 = 3360$,इसलिए $n = 14$ प्राप्त होता है।

यदि $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i \sum_{k = 1}^j 1 = 560$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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