यदि A और B दो समुच्चय हैं,तो A cup B = A cap | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$.मान लीजिए $x \in A$. चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ होगा।चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसल

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$A = B$

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(C) दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$.मान लीजिए $x \in A$. चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ होगा।चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $x \in A \cap B$ होगा।सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$x \in A \cap B \implies x \in A$ और $x \in B$। अतः,$x \in B$ होगा।चूँकि $x \in A \implies x \in B$,इसलिए $A \subseteq B$ सिद्ध होता है।इसी प्रकार,मान लीजिए $y \in B$. चूँकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $y \in A \cup B$ होगा।चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $y \in A \cap B$ होगा।सर्वनिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,$y \in A \cap B \implies y \in A$ और $y \in B$। अतः,$y \in A$ होगा।चूँकि $y \in B \implies y \in A$,इसलिए $B \subseteq A$ सिद्ध होता है।चूँकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$,इसलिए $A = B$ होगा।

यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं,तो $A \cup B = A \cap B$ यदि और केवल यदि:

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