જો y=y(x) એ સમીકરણ e^{sin y} cos y frac{dy}{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $e^{\sin y} = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે છે. આપેલ વિકલ સમીકરણ $\fra

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $e^{\sin y} = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે છે. આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ બને છે. આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \cos x$ અને $Q(x) = \cos x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ છે. ઉકેલ $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ છે. ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$. તેથી,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$. $t = e^{\sin y}$ મૂકતા,આપણને $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ મળે છે. $y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,જેનો અર્થ છે કે $1 \cdot 1 = 1 + c$,તેથી $c = 0$. આમ,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,જેનું સાદું રૂપ $e^{\sin y} = 1$ થાય છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\sin y = 0$,જેનો અર્થ છે કે દરેક $x$ માટે $y = 0$. તેથી,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,અને $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$. આમ,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

Similar Questions

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2 + 5$ નો વ્યાપક ઉકેલ .... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module