જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x frac{d y}{d x}+2 y= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{ e }- e$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2}{x}$ અને $Q(x)=e^{x}$.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln |x|} = x^{2}$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.$y \cdot x^{2} = \int e^{x} \cdot x^{2} dx + C$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.તેથી,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.$y(1)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^{1}(1-2+2) + C$,જે $C = -e$ આપે છે.આમ,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e$.હવે,$z(x) = x^{2} y(x) - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+1) - e = e^{x}(x-1)^{2} - e$.સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$z'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.$z'(x) = e^{x}(x-1)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-1) = e^{x}(x-1)(x-1+2) = e^{x}(x-1)(x+1) = 0$.ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=-1$ છે.પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$x  0$,$-1  1$ માટે $z'(x) > 0$ છે.તેથી,$x=-1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $z(-1) = e^{-1}(-1-1)^{2} - e = e^{-1}(4) - e = \frac{4}{e} - e$ છે.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}, y(1)=0$ નો ઉકેલ હોય,તો વિધેય $z(x)=x^{2} y(x)-e^{x}$,$x \in R$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\sec x \operatorname{cosec} x) y = \cos^2 x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module